Γ 函數
gamma function。第二種 Euler 積分 (Euler integral of the second kind)
積分表示$ \Gamma(z):=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,$ {\frak R}z>0
$ \Gamma(z):=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}
逆數は整函數$ \frac 1{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(\left(1 + \frac z n\right)e^{-\frac z n}\right) 函數等式$ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
Bohr-Mollerups の定理
正の實軸上で對數凸であり、$ G(z+1)=zG(z)かつ$ G(a)=1と成る複素解析函數は、Γ 函數に限る 對數凸
$ \log f(x)が凸函數である函數$ f(x)を對數凸函數と言ふ ガンマ関数：階乗の一般化とその深遠な世界
エグゼクティブ・サマリー
本ブリーフィングは、自然数に対して定義される「階乗」を実数や複素数へと拡張する概念、すなわち「ガンマ関数」について、その根源的な発想から数学的な性質、そして關聯する広範な関数群までを統合的に解説するものである。
ガンマ関数は、1729年にレオンハルト・オイラーが階乗の一般化を試みたことに端を発する。その中核は、階乗が持つ再帰的な性質$ n!=n(n-1)!を連續函數に拡張した関係式$ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)にある。現在、ガンマ関数は「第2種オイラー積分」と呼ばれる積分形式$ \Gamma(z)=\int t^{z-1}e^{-t}{\rm d}tによって定義されるのが一般的である。
この一見唐突に見える積分定義の背景には、論理的な思考の道筋が存在する。階乗の再帰的性質を微分の公式になぞらえ、積の微分法や指数関数、そして定積分といった解析学の道具を駆使することで、この積分形式を発見的に導出することが可能である。これは、天下り的に与えられがちな定義に「なぜその形なのか」という解釈を与える思考実験と言える。
しかし、ガンマ関数は単なる数学的な遊戯ではない。Bohr-Mollerupの定理によって、対数凸性などの「自然な」条件を満たす階乗の拡張はガンマ関数に一意に定まることが証明されている。解析的には、負の整数およびゼロにのみ極を持つ有理型関数であり、いかなる代数的微分方程式の解にもならない高度な超越性を持つ。
その応用範囲は広く、確率・統計学、数論におけるゼータ関数の研究、さらには物理学の弦理論に至るまで、様々な分野で基礎的な役割を担っている。さらに、ガンマ関数は孤立した存在ではなく、ベータ関数、ポリガンマ関数、さらには多重ガンマ関数や多重三角関数といった広大な特殊関数の世界の根幹を成す、極めて重要な関数である。
1. 階乗の一般化という問い
数学における階乗 ($ n!) は、$ 1からある自然数$ nまでの全ての整数を掛け合わせたものとして定義される。例えば、$ 3!は$ 3\times 2\times 1=6となる。この定義は、対象が自然数である場合に明確かつ直感的である。
しかし、この定義を自然数以外、例えば実数や分数に拡張しようとすると、根本的な問題に直面する。「$ \frac 1 2の階乗」すなわち$ \frac 1 2 !を計算しようとしても、「$ 1から$ \frac 1 2までの数を掛ける」という操作は意味をなさない。ここに、階乗をより一般的な数の範囲に拡張するという課題が生まれる。
この課題へのアプローチは、階乗の値を平面上にプロットすることから始まる。$ (0,1),(1,1),(2,2),(3,6)といった離散的な点を、可能な限り「自然」で「滑らか」な曲線で結ぶ関数$ y=g(x)を見つけることができれば、それが階乗の実数への拡張となりうる。問題は、そのような関数をいかにして見つけ出し、その「自然さ」をどう定義するかという点にある。
2. ガンマ関数の発見的導出：思考実験
ガンマ関数の積分定義は唐突に現れることが多いが、その根源には階乗の性質から論理を積み上げる思考の道筋が存在する。以下に示すのは、最小限の知識から階乗の一般化を試みる思考実験である。
2.1. 階乗の再帰的性質の利用
階乗の定義を深く見ると、重要な再帰的性質が見出せる。$ n!=n\times(n-1)\times\dots\times 1=n\times (n-1)!この関係式は階乗の本質的な特徴を捉えている。したがって、階乗を拡張する関数$ g(x)も、これと同様の条件を満たすべきだと考えられる。
* 目標条件1（再帰性）：$ g(x)=x g(x-1)
* 目標条件2（初期値）：$ g(1)=1!すなわち$ g(0)を$ 0!=1と定義すると、$ g(1)=1\times g(0)=1が成り立つ。
この2つの条件を満たす関数$ gを見つけることができれば、その関数は階乗の一般化として機能する。実際、任意の自然数$ nに対して、$ g(n)=n g(n-1)= n (n-1) g(n-2)=\dots=n! g(0)= n!となり、自然数の階乗と一致することが保証される。
2.2. 微分公式とのアナロジー
目標の再帰式$ g(x) = x g(x-1)は、ある関数の微分公式と著しい類似性を持つ。$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}t^x=x t^{x-1}このべき乗関数の微分は、「係数$ xが前に出て、指数が$ 1減少する」という点で、階乗の性質と構造が酷似している。このアナロジーは、階乗の一般化への强力な足がかりとなる。
しかし、この2つの式には決定的な違いも存在する。
1. 変数の出現: 微分公式には、元の関数にない変数$ tが現れる。
2. 非対称性: 微分公式では左辺の$ t^xのみが微分されているが、階乗の式では$ g(x)と$ g(x-1)は対等に扱われている。
2.3. 積の微分法と指数関数の活用
これらの違いを乗り越えるため、解析学の道具が用いられる。まず、非対称性の問題を解決するために積の微分公式$ (uv)' = u'v + uv'を利用する。$ u = t^xと置けば、この公式は$ uと$ u'を対等に近い形で式中に含めることができる。
次に、$ vと$ v'の関係を単純化するため、指数関数$ e^{-t}を$ vとして採用する。指数関数は$ (e^{-t})' = -e^{-t}という、微分しても形がほとんど変わらないという特異な性質を持つ。これにより、式が複雑化するのを防ぐことができる。
$ u = t^x,$ v = e^{-t}として積の微分公式に代入し、式を整理すると、$ x t^{x-1}e^{-t}と$ t^x e^{-t}を対等に扱う関係式を構築できる。
2.4. 積分による変数の消去
$ g(x,t)=t^x e^{-t}という t に依存する関数を定義すると、前節の操作から$ g(x,t)と$ g(x-1,t)を結びつける微分方程式が得られる。残る課題は、アナロジーの導入によって現れた余分な変数$ tを消去することである。
ここで定積分が用いられる。式の両辺を t について積分すれば、結果は t に依存しない x のみの関数となる。積分区間は、計算を最も単純にする [0, ∞) を選択する。この区間を選ぶことで、部分積分によって生じる境界値の項 $ [t^x e^{-t}] が、$ t=0と$ t\to\inftyの両方でゼロとなり、都合よく消去される。
2.5. ガンマ関数の定義へ
以上の手順を経て、最終的に以下の関係式が導かれる。$ \int_0^\infty t^x e^{-t}{\rm d}t = x\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}{\rm d}t
ここで、$ g(x)=\int_0^\infty t^x e^{-t}{\rm d}tと定義すれば、これはまさに目標とした再帰式$ g(x)=x g(x-1)を満たしている。
歴史的な経緯から、指数部分を$ x-1にずらしたものがガンマ関数$ \Gamma(x)として定義されている。$ \Gamma(x)=\int_0^∞ t^{x-1} e^{-t}{\rm d}tこの定義では、$ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)という関係が成り立ち、自然数$ nに対して$ \Gamma(n)=(n-1)!となる。これにより、例えば$ \frac 1 2 !に相当する値は$ \Gamma\left(\frac 3 2\right)で計算できる。
この導出過程は、ガンマ関数の積分定義が単なる思いつきではなく、階乗の持つ基本的な性質を保持したまま、連續函數へと拡張しようとする論理的な帰結であることを示している。
3. ガンマ関数の数学的定義と性質
ガンマ関数は、前述の発見的アプローチだけでなく、複数の厳密な定義と豊富な数学的性質を持つ、極めて重要な特殊関数である。
3.1. 複数の定義
ガンマ関数は、同値ないくつかの形式で定義される。
定義の種類 式 備考
第2種オイラー積分$ \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}{\rm d}t現在最も一般的な定義。$ \frak{Re}(z)>0で収束する。
オイラーの無限乗積$ \Gamma(z)=\frac 1 z\prod_{n=1}^\infty\frac{(1 + 1/n)^z}{1 + z/n}オイラーが最初に与えた定義の一つ。
ワイエルシュトラスの標準形$ \frac 1{\Gamma(z)}=z e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(\left(1 + \frac z n\right)e^{- \frac z n}\right)逆数が整関数であることを示す表示。$ \gammaはオイラー・マスケローニ定数。
3.2. 基本的な性質と公式
ガンマ関数は、以下のような数多くの重要な関係式を満たす。
* 関数等式:$ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
* 階乗との関係:$ \Gamma(n+1)=n!($ nは$ 0以上の整数）
* 特殊値:
*$ Γ(1) = 0! = 1
*$ Γ(1/2) =\sqrt\pi
* 相反公式（相補公式）:$ \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac\pi{\sin(\pi z)}
* 倍数公式（ルジャンドル）:$ Γ(z)Γ\left(z+\frac 1 2\right) = 2^{1-2z}\sqrt\pi Γ(2z)
3.3. 解析的特性
複素関数としてのガンマ関数は、以下のような際立った特徴を持つ。
* 有理型関数: 複素平面全体で有理型関数であり、$ z=0,-1,-2,\dotsの負の整数およびゼロにおいてのみ1位の極を持つ。
* 零点の不存在: ガンマ関数は複素平面上に零点を持たない。このため、その逆数$ \frac 1{\Gamma(z)}は特異点を持たない整関数となる。
* 超超越性: 1887年にO. Hölderは、ガンマ関数がいかなる代数的微分方程式の解にもならないことを証明した。これはガンマ関数が極めて超越的な関数であることを意味する。
* 漸近展開（Stirling の公式）: z の絶対値が大きいとき、ガンマ関数は以下の漸近級数で近似できる。これは階乗の近似に広く用いられる。$ \Gamma(z+1)\approx\sqrt{2πz}\left(\frac z e\right)^z 3.4. 唯一性とBohr-Mollerupの定理
ガンマ関数が階乗の「最も自然な」拡張であることは、Bohr-Mollerupの定理によって数学的に保証されている。この定理は、以下の3つの条件をすべて満たす正の実数上の関数$ f(x)は、ガンマ関数$ \Gamma(x)のみであることを主張する。
1. $ f(1)=1
2. $ f(x+1)=x f(x)
3. $ \log(f(x))が凸関数である（対数凸性）。
対数凸性は関数の「滑らかさ」に関する条件であり、この定理はガンマ関数がこれらの基本的な要請を満たす唯一の解であることを示している。
4. ガンマ関数を巡る広大な世界
ガンマ関数は単独で存在するのではなく、数多くの重要な特殊関数の母体となる中心的な存在である。
* Β 函數: 「第1種オイラー積分」とも呼ばれ、$ \Beta(x, y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}という形でガンマ関数と密接に關聯する。確率論や統計学、さらには物理学の弦理論の創始にも関わった。 * ポリガンマ関数: ガンマ関数の対数微分、およびその高階導関数として定義される関数群（ディガンマ関数、トリガンマ関数など）。ディガンマ関数は調和級数の連續化と見なせる。
* 二重階乗関数:$ n!!で表される二重階乗を複素数へ拡張したもので、ガンマ関数を用いて定義される。
* 多重ガンマ関数と多重三角関数: ガンマ関数をさらに一般化したBarnesのG関数や多重ガンマ関数が存在する。これらはガンマ関数の相反公式を拡張することで多重三角函數を導き、数論や組み合わせ論の分野で重要性を増している。 * その他の關聯函數:
* Hadamardのガンマ関数: Bohr-Mollerupの定理の対数凸性を満たさない、別種の階乗の補間関数。ガンマ関数と異なり整関数である。
* 交互階乗関数:$ n!-(n-1)!+\dotsという形の交互階乗を一般化した関数。
これらの関数群の存在は、ガンマ関数が単なる一つの特殊関数ではなく、現代数学の広大な領域を探求するための基本的な構成要素であることを示している。
階乘 (factorial)
$ \log n!=n\log n-n+O(\log n)
$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac n e\right)^n
$ \sqrt{2\pi}n^{n+\frac 1 2}e^{-n}\le n!\le en^{n+\frac 1 2}e^{-n}
$ \Gamma(z)\sim\sqrt{\frac{2\pi}z}\left(\frac z e\right)^z\quad,|\arg z|\le\pi-\varepsilon,|z|\to\infty
二重階乘 (double factorial。半階乘 (semifactorial))$ n!!,$ n!_2
$ n!!:=\prod_{k=0}^{\lceil\frac n 2\rceil-1}(n-2k)
$ (2n)!!=2n(2n-2)(2n-4)\dots 2=2^n n!
$ (2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\dots 1=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}
多重階乘$ n!_m
超階乘 (superfactorial)$ n\$:=n!\uparrow^2 n!
hyper 階乘 (hyperfactorial)
階冪
polygamma function
$ \psi^{(n)}(z):=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z)
digamma function
$ \psi(z):=\frac d{dz}\log\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}
第 1 種不完全Γ函數$ \gamma(z,x):=\int_0^x t^{z-1}e^{-t}dt
第 2 種不完全Γ函數$ \Gamma(z,x):=\int_x^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
$ \gamma(z,x)+\Gamma(z,x)=\Gamma(z)
$ \Gamma_N(w|a_1,\dots,a_N):=e^{\frac\partial{\partial s}\zeta_N(s,w|a_1,\dots,a_N)|_{s=0}}
Barnes のζ函數$ \zeta_N(s,w|a_1,\dots,a_N):=\sum_{n_1,\dots,n_N\ge 0}\frac 1{(w+n_1a_1+\dots+n_Na_N)^s} 函數等式$ G(z+1)=\Gamma(z)G(z)
p-進Γ函數$ \Gamma_p(s)
q-Γ函數$ \Gamma_q(z)
橢圓 Γ 函數